1: Bạn bổ sung đề bài đi bạn

2: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(2m-1\right)x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(2m-1\right)x=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{2m-1}\\y=0\end{matrix}\right.\)

=>\(OA=\sqrt{\left(\dfrac{4}{2m-1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\dfrac{4}{\left|2m-1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(2m-1\right)x-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(2m-1\right)\cdot0-4=-4\end{matrix}\right.\)

=>OB=4

Để ΔOAB cân tại O thì OA=OB

=>\(\dfrac{4}{\left|2m-1\right|}=4\)

=>\(\dfrac{1}{\left|2m-1\right|}=1\)

=>\(\left|2m-1\right|=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m-1=1\\2m-1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m=2\\2m=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=0\end{matrix}\right.\)

- Xét phương trình hoành độ của (P) với Ox : \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA\left(\dfrac{4}{3};0\right)\\OB\left(-1;0\right)\end{matrix}\right.\)

- Từ đồ thị hàm số \(\Rightarrow S_{ABMN}=\dfrac{1}{2}\left(\left|AB\right|+\left|MN\right|\right).\left|m\right|=4\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{7}{3}+\left|MN\right|\right).\left(-m\right)=8\)

\(\Rightarrow\left|MN\right|=-\dfrac{8}{m}-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow MN^2=\dfrac{64}{m^2}+\dfrac{112}{3m}+\dfrac{49}{9}\)

- Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và d :\(3x^2-x-m-4=0\)

Có : \(\Delta=b^2-4ac=1-4.3\left(-m-4\right)=12m+49\)

- Để P cắt d tại hai điểm phân biệt <=> \(m>-\dfrac{49}{12}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{49}{12}< m< 0\)

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1}{3}\\x_1x_2=-\dfrac{m+4}{3}\end{matrix}\right.\)

Thấy : \(\left|MN\right|=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\)

\(\Rightarrow MN^2=x^2_1+2\left|x_1x_2\right|+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|\)

\(\Rightarrow\dfrac{2\left(m+4\right)}{3}+\dfrac{2}{3}\left|m+4\right|=\dfrac{64}{m^2}+\dfrac{112}{3m}+\dfrac{16}{3}\)

TH1 : \(m+4< 0\)

\(\Rightarrow16m^2+112m+192=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=-4\end{matrix}\right.\)

TH2 : \(m+4\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{4\left(m+4\right)m^2}{3m^2}=\dfrac{16m^2+112m+192}{3m^2}\)

\(\Rightarrow4m^3-112m-192=0\)

( Đoạn này giải máy nha cho nhanh nếu ko tách đc bl để mk tách cho )

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

mk chỉ cho cách lm :

a) thế điềm \(O\left(0;0\right)\) vào d \(\Leftrightarrow x=0;y=0\) --> m

b) thế điểm \(\left(3;5\right)\) vào d \(\Leftrightarrow x=3;y=5\) --> m

c) thế \(x=0;y=0\) rồi biến đổi đẳng thức d

rồi tìm điều kiện để đẳng thức đó không đúng

d) ta có đường thẳng \(d\backslash\backslash Ox\) có dạng \(y=a\) và \(d\backslash\backslash Oy\) có dạng \(x=b\)

--> \(d\backslash\backslash Ox\) \(\Leftrightarrow\) \(2m-1=0\) và --> \(d\backslash\backslash Oy\) \(\Leftrightarrow\) \(m-2=0\)

--> ...

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)

Pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.m=1-m\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)

Khi \(m< 1\), áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2m=4-2m\)

Do đó để \(y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)\)\(\Leftrightarrow4-2m+m^2=6.2\)\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\) (1)

pt (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.\left(-8\right)=9>0\)

Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{1}=4\\m_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

Như vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Mà do \(m< 1\) nên ta chỉ nhận trường hợp \(m=-2\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và tung độ thỏa mãn đề bài thì \(m=-2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ là:

$x^2=2x-m\iff x^2-2x+m=0$ (1)

Ta có: ${\Delta }^{{}^{}}=1-m$.

Điều kiện để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra $1-m>0\iff m<1$ (*).

Khi đó $x_1$, $x_2$ là các hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ nên $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình hoành độ của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$.

Theo hệ thức Vi-et ta có: